Xét \(\Delta BAD\)(\(\widehat{A}=90^o\))và \(\Delta BHD\)(\(\widehat{H}=90^o\))có:

\(\widehat{ABD=\widehat{HBD}}\)(gt)

BD: cạnh chung

=> \(\Delta ABD=\Delta HBD\left(CH-GN\right)\)

=> AB=BH; AD=DC (2 cạnh t/ứng)

và \(\widehat{BDA=\widehat{BDC}}\)(2 góc t/ứng)

Xét \(\Delta ABH\)cân tại B(vì AB=BH[cmt]) có : BD là đường p.g

=> B là điểm thuộc đường trung trực AH (1)

Xét \(\Delta ADH\)cân tại D(vì AD=DH(cmt)) có: DB là đường p.g ( vì \(\widehat{BDA=\widehat{BDC}}\))

=> D là điểm thuộc đường trung trực AH (2)

Từ (1) và (2)=> BD là trung trực của đt AH

+ Xét \(\Delta ABD\)vuông tại A và \(\Delta HBD\)vuông tại H ( vì \(DH\perp BC\))

Có : BD là cạnh chung

        \(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)( Vì BD là p/g của góc B)      => \(\Delta ABD=\Delta HBD\)( canh huyền-góc nhọn)

                                                                                       => AB = HB

+ Gọi I là giao điểm của BD và AH

CM đc : \(\Delta ABI=\Delta HBI\)(c-g-c)

=> IA = IH ( 2 cạnh tương ứng)    (1)

và \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH}\)( 2 góc t.ư)

Vì \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH};\widehat{BIA}+\widehat{BIH}=180^o\)( 2 góc k.bù)

=> \(\widehat{BIA}=\widehat{BIH}=\frac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow BD\perp AH\)tại I (2)

Từ (1),(2) => BD là trung trực của đth AH

sidda va tam mai làm giúp mừn cả câu 2 nữa nhe : Tính góc DBK

a) Xét tam giác ACK và tam giác FAM có :

AC = FA

\(\widehat{CAK}=\widehat{AFM}\)  (Cùng phụ với góc \(\widehat{FAK}\)  )

\(\widehat{ACK}=\widehat{FAM}\)   (Cùng phụ với góc \(\widehat{DAC}\)  )

\(\Rightarrow\Delta ACK=\Delta FAM\left(g-c-g\right)\)

b) Do \(\Delta ACK=\Delta FAM\left(cma\right)\Rightarrow FM=AK\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự câu a ta có: \(\Delta ABK=\Delta EAM\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow ME=AK\)

Từ đó suy ra FM = ME hay M là trung điểm EF.

c) Kéo dài FB cắt EC tại J. Ta chứng minh \(\widehat{FJE}=90^o\)

Xét tam giác FAB và tam giác CAE có:

FA = CA

AB = AE

\(\widehat{FAB}=\widehat{CAE}\)   (Cùng phụ với góc \(\widehat{BAC}\)  )

\(\Rightarrow\Delta FAB=\Delta CAE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow FB=CE\) và \(\widehat{AFB}=\widehat{ACE}\)

Xét tứ giác AFJE có:

\(\widehat{AFJ}+\widehat{FJE}+\widehat{JEA}+\widehat{EAF}=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}+\widehat{FJE}+\widehat{CEA}+\widehat{EAC}+90^o=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FJE}+\widehat{ACE}+\widehat{CEA}+\widehat{EAC}=270^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FJE}+180^o=270^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FJE}=90^o\)

Vậy nên \(FB\perp EC\) (đpcm).

Bài 2:

a) Gọi giao điểm của đường phân giác ^ABC và ^ACB với AC và AB lần lượt là E và D

Dễ thấy: ^BAH=^ACB (Cùng phụ với ^HAC) => 1/2. ^BAH = 1/2. ^ACB

=> ^DAM=^ACD. Mà ^DAM+^MAC=^BAC=90⁰ => ^ACD+^MAC=90⁰ => AM \(\perp\)CD

hay NI\(\perp\)AM. 

Tương tự ta chứng minh MI\(\perp\)AN

Xét tam giác MAN: NI\(\perp\)AM; MI\(\perp\)AN => I là trực tâm của tam giác MAN (đpcm).

b) Do I là trực tâm của tam giác AMN (cmt) => AI\(\perp\)MN hay AI\(\perp\)B'C'

Ta có: Tam giác ABC có 2 đường phân giác ^ABC và ^ACB cắt nhau tại I => AI là phân giác ^BAC

=> AI là phân giác ^B'AC'.

Xét tam giác AB'C': AI là phân giác ^B'AC'. Mà AI\(\perp\)B'C' => Tam giác AB'C' cân tại A

 Lại có: ^B'AC'=90⁰ => Tam giác B'AC' vuông cân tại A.

Câu hỏi của SKT_NTT - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath    bài này câu c làm thế nào nhỉ

a) Xét (O) có 

ΔAFH nội tiếp đường tròn(A,F,H\(\in\)(O))

AH là đường kính(gt)

Do đó: ΔAFH vuông tại F(Định lí)

Xét (O) có

ΔAEH nội tiếp đường tròn(A,E,H\(\in\)(O))

Do đó: ΔAEH vuông tại E(Định lí)

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{FAE}=90^0\left(\widehat{BAC}=90^0\right)\)

\(\widehat{AEH}=90^0\)(ΔAEH vuông tại E)

\(\widehat{AFH}=90^0\)(ΔAHF vuông tại F)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

a, Áp dụng PTG: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\left(cm\right)\)

b, Vì AI là trung tuyến ứng ch BC nên \(AI=\dfrac{1}{2}BC=2,5\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL: \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{12}{5}=2,4\left(cm\right)\)